О практическом приложении нелинейного метода

Сообщение "Прочность, устойчивость и колебания пространственных конструкций зданий и сооружений как единых нелинейно деформируемых систем", сделанное Евгением Сидоровичем (БГПА) на международной научно-практической конференции "Эффективные строительные материалы, конструкции и технологии"

Исследования и последующие публикации ученых БГПА в области нелинейного расчета начались с диссертации Евгения Сидоровича, посвященной теории гибких нитей, висячим и вантовым системам. Основы нелинейного расчета, заложенные тогда, сохранились неизменными по сей день и применяются в современных программных комплексах.

Как правильно применять имеющиеся в нашем распоряжении расчетные механизмы?

Первая связанная с данной сферой неточность состоит в том, что нелинейная задача якобы не решается методом конечных элементов. МКЭ позволяет либо составить уравнения равновесия, либо в уже линеаризованной форме получить матрицу жесткости, либо в обычных линейных расчетах построить матрицу жесткости. То есть метод позволяет только записать условия равновесия системы. Но как решить это уравнение?

Как известно, использование МКЭ предусматривает учет узловых реакций при составлении матрицы равновесия. Очевидно, что поскольку матрица равновесия зависит от координат (а, значит, перемещений), то вкупе эти параметры, представляя собой две группы неизвестных, и сообщают уравнению равновесия нелинейность. К данному уравнению (а точнее, группе уравнений) примыкают группа геометрических уравнений, связывающих перемещения и деформации элементов, а также группа физических уравнений, связывающих деформации и внутренние усилия.

Что можно сказать о геометрической, физической и конструктивной нелинейности?

Оказывается, что физическая и конструктивная нелинейность суть одно и то же.

Если учитывается физическая нелинейность, уравнения же статики и геометрии, отмеченные (*) и (**), остаются линейными, получаем систему уравнений с учетом лишь физической нелинейности. Имеются в виду и процессы трещинообразования в бетоне, и пластичность бетона и арматуры, и учет пластической работы (упрочнения и разупрочнения) металлоконструкций.

Об употреблении терминов "деформированная схема" и "геометрическая нелинейность".

Докладчик склоняется к тому, что учет деформированности схемы, то есть воздействия перемещений на перераспределение внутренних усилий, может предусматривать два случая.

Когда уравнение равновесия составлено для какого-то исходного состояния, со всеми известными параметрами, а потом оно записывается для нового состояния с приращением координат (учет перемещений), внутренних силовых факторов (учет приложенных нагрузок), то в итоге описанной оказывается нелинейная система. Вычтя из второго уравнения первое, получим уравнение, записанное в приращениях. Оно - именно нелинейное, поскольку содержит и геометрическую нелинейность, связанную с изменением геометрии сооружения, и фактор изменения внутренних сил.

Однако эти уравнения содержат еще один довольно интересный член. Если считать, что перемещения (v) очень малы по сравнению с начальной геометрией, то соответствующие члены могут быть отброшены. Метод расчета вырождается в классический метод расчета по линейному состоянию (по недеформируемой схеме).

Учет же деформируемой схемы при подвижной линейности позволяет получить двухчленное уравнение равновесия, в котором есть перемещения, то есть приращения координат. Есть в нем приращения усилий, но есть и исходные усилия. В данном случае имеем линейный расчет с учетом деформаций. В конечном итоге возможно выражение усилий через перемещения.

После подстановки соответствующих зависимостей в уравнения равновесия получаем нелинейные уравнения в перемещениях.

В даном случае можно говорить о полной нелинейности - как геометрической, так и физической. Если угодно, то и о конструктивной.

Каковы же возможности таких известных программных комплексов, как Космос, Мираж, Лира и Настран?

Все эти комплексы решают нелинейную задачу, но путем сохранения классических линейных уравнений равновесия, при этом все нелинейные члены перебрасываются в правую часть, и дальнейшая часть задачи решается путем итераций.

Данная схема замечательно работает, когда все состояния, в которых пребывает сооружение, являются устойчивыми. Нелинейность данным алгортмом не учитывается. Беда же в том, что такой расчет может дать непредсказуемый результат.

Поэтому при написании расчетных программ необходимо предусматривать в их составе модули, контролирующие вычисление внуьренних силовых факторов.

Это возможно только тогда, когда в уравнениях равновесия сохраняется член, иногда называемый матрицей геометрической жесткости. Данный член учитывает исходное напряженное состояние, отталкиваясь от которого мы и производим расчет. К сожалению, большинством программных комплексов расчет на устойчивость осуществляется обособленно от расчета на перемещения и усилия, по классической схеме, что свойственно и Миражу, и Космосу, и Настрану, и многим другим инструментам машинного расчета.

Имеет хождение гипотеза о существовании материалов, которым свойственны большие перемещения при малых деформациях. Раз так, то геометрически элементы меняются незначительно. Поэтому можно линеаризовать геометрические и физические уравнения и получить некоторый аналог нелинейных уравнений, в которых геометрическая нелинейность сохраняется только в первых двух уравнениях - уравнениях равновесия.

Такая методология (учет малых деформаций при больших перемещениях) лежит в основе почти всех названных вычислительных комплексов.

Следует знать, что расчет по деформируемой схеме может быть как линейным, так и нелинейным. Даже элементарный расчет с учетом продольно-поперечного изгиба, с учетом трансцедентных функций, Карнаухова и других авторов, является расчетом по деформированной схеме.

Еще одной проблемой, с которой пришлось столкнуться в последнее время, является подбор сечений сжато-изогнутых стержней. Практическим примером может служить расчет полой конической башни высотой около 60 м, являющейся опорой ветроэнергетической установки. К данной расчетной схеме приложена ветровая нагрузка, при этом существенный опрокидывающий момент создает давление ветра на лопасти ВЭУ. В горизонтальной плоскости генерируется не менее существенный крутящий момент, то есть результирующая тяговая сила действует под углом. Разумеется, есть и осевая сжимающая сила. То есть налицо сжато-изогнутое сооружение переменного сечения.

Следует напомнить, что все расчетные справочники до сих пор не рассматривают подобного сочетания. Тем не менее сжато-изогнутый стержень приводится к некоторому внецентренно сжатому стержню. Дальнейшие преобразования приводят нас к условиям центрального сжатия.

А центрально сжатый стержень рассчитывается с учетом начальных параметров как внецентренный, то есть круг замыкается.

В конце концов появился вывод: при расчете по деформированной схеме и замене центрально сжатого стержня внецентренно сжатым с целью учета несовершенств расчетной схемы, ее деформируемости (ищем изменения и дополнения внутренних силовых факторов, что позволит осуществить адекватный прочностной расчет данного сечения), применяется нелинейная теория. Убедившись в том, что обеспечивается устойчивость данной расчетной схемы, можно находить напряжения, используя сопроматовский подход.

В конечном итоге предлагается в первую очередь произвести расчет сооружения на устойчивость. И уже далее должен следовать его прочностной расчет.

Последовал вопрос: какие деформации являются большими, а какие - малыми?

Получается, что случаи больших деформаций являются таковыми, когда квадраты длин элементов не могут быть отбрасываемы по сравнению с длинами собственно элементов.

Что же касается расчета Шухова (и его расчетной схемы), то данный алгоритм скорее всего не учитывал таких видов нагрузок, как шквалистый ветер.

Что дает учет нелинейной работы сооружения?

Это, во-первых, наиболее точное представление о распределении внутренних силовых факторов. Всегда можно сказать, какую предельную нагрузку выдержит заданное сооружение. При этом наблюдается следующая закономерность.

Если в сооружениях превалируют растягиваемые элементы, то несущая способность расчетной схемы повышается. В противном же случае она уменьшается.

Данная закономерность позволяет утверждать, что если мы принимаем во внимание недеформируемую схему, то получаем возможность учитывать влияние существующих внутренних сил на изменение напряжений при изменении внешних воздействий.

Нелинейный метод позволяет проследить поведение железобетонной плиты за рамками не только классической линейной теории, но и имеющих широкое хождение программных комплексов. Ибо в данном случае идет речь о повышении несущей способности на основе растянутой расчетной схемы. О заведомой устойчивости сооружения на данной основе.

Метод же, о котором говорит докладчик, позволяет учитывать устойчивость на каждом шаге нагружения.

Пример - самый простой: металлическая мачта, рассчитываемая по теории продольно-поперечного изгиба. В данном случае она рассматривается как сжато-изогнутый стержень, а оттяжки - как нелинейные пружины. Расчет основывается на перераспределении внутренних усилий за счет точного учета нелинейных сил. BN=P B(X+V)(N+DN)=P+DP B(X)+B(X)DN+B(V)N+B(V)DN=DPA(N)V+B(X)DN=DP* F(V)=E(e) B(X)V=De**Подготовил Сергей ЗОЛОТОВ